Question

13．如图，已知点A（6，0），B（0，2$\sqrt{3}$），O为坐标原点，点O关于直线AB的对称点C恰好落在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，求k的值．

Answer 1

分析 先连接OC，在Rt△AOB中，利用三角函数得出∠BAO，再由对称性得出∠AOC，得出△AOC是等边三角形，过点C作CF⊥AO于F点，利用三角函数得出CF，即可得出点C的坐标，再求k的值即可．

解答 解：∵点A（6，0），B（0，$2\sqrt{3}$），
∴OA=6，OB=$2\sqrt{3}$．
在Rt△AOB中，tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴∠BAO=30°，
连接OC，
∵点O关于直线AB的对称点是C，
∴OC⊥AB，则∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，且AO=CO=6，
过点C作CF⊥AO于F点，
则OF=$\frac{1}{2}$OA=3，CF=OC•sin∠FOC=$3\sqrt{3}$，
则点C的坐标为（3，$3\sqrt{3}$）
∵C在反比例函数$y=\frac{k}{x}（k＞0）$的图象上，
∴$k=3×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，本题是一道综合性的题目，涉及到的知识点有三角函数、对称以及用待定系数法求反比例函数的解析式，难度中等．