Question

12．如图，E、F分别是菱形ABCD的边AB、AD的中点，且AB=5，AC=6．
（1）求对角线BD的长；
（2）求证：四边形AEOF为菱形．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的性质结合勾股定理得出OB的长即可得出DB的长；
（2）利用三角形中位线定理进而得出四边形AEOF是平行四边形，再利用菱形的判定方法得出即可．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥DB，AO=$\frac{1}{2}$AC，BO=$\frac{1}{2}$DB，
∵AC=6，
∴AO=3，
∵AB=5，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-A{O}^{2}}$=4，
∴DB=8；

（2）证明：∵E，O分别是BA，BD中点，
∴OE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
同理可得：AF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∴四边形AEOF是平行四边形，
又∵AB=AD，∴AE=AF，
∴平行四边形AEOF是菱形．

点评 此题主要考查了勾股定理以及菱形的判定与性质，正确把握菱形的判定方法是解题关键．