Question

在平行四边形ABCD中，AB=10，∠ABC=60°，以AB为直径作⊙O，边CD切⊙O于点E．求由弧AE、线段AD、DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

Answer 1

考点：切线的性质,平行四边形的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：连接OE，过A作AF⊥DC，交CD于点F，由ABCD为平行四边形，得到AB与CD平行，根据CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于CD，进而得到EO垂直于AB，得到四边形AOEF为正方形，得到AF=OA，在直角三角形ADF中，利用锐角三角函数定义求出DF的长，根据DF+EF求出DE的长，阴影部分面积=直角梯形AOED面积-扇形AOE面积，求出即可．

解答：解：连接OE，过A作AF⊥DC，交CD于点F，
∵ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∵CD为圆O的切线，
∴OE⊥CD，
∴EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∴四边形AOEF为正方形，
∴AF=AO=

1

2

AB=5，
∵∠ABC=60°，
∴∠D=60°，
在Rt△ADF中，tan60°=

AF

DF

，即

5

DF

=

3

，
解得：DF=

5 3

3

，
∴DE=DF+EF=

5 3

3

+5，
则S_阴影=S_{直角梯形AOED}-S_扇形AOE=

1

2

×（5+

5 3

3

+5）×5-

90π×52

360

=25+

25 3

6

-

25π

4

．

点评：此题考查了切线的性质，平行四边形的性质，以及扇形的面积计算，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．