Question

已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E和点F，AE、AF分别与BD相交于点M、N．
（1）求证：EF∥BD；
（2）当MN：EF=2：3时，求证：△AMN是等边三角形．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用菱形的性质和已知条件易证△ABE≌△ADF，所以BE=DF，再证明

BE

BC

=

DF

CD

，即可得到EF∥BD；
（2）根据已知条件可证明AM=AN，由（1）可知：AE=AF，进而可证明：△AMN是等边三角形．

解答：证明：（1）在菱形ABCD中，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E和点F，
∴∠AEB=∠AFD=90°．
在△ABE和△ADF中，

∠AEB=∠AFD ∠ABC=∠ADC AB=AD

，
∴△ABE≌△ADF．
∴BE=DF，
又∵BC=CD，
∴

BE

BC

=

DF

CD

，
∴EF∥BD；
（2）∵MN∥EF，MN：EF=2：3，
∴

AM

AE

=

MN

EF

=

2

3

．
∴

AM

EM

=2．
∵BE∥AD，
∴

BE

AD

=

EM

AM

=

1

2

．
而AD=AB，∴

BE

AB

=

1

2

．
∴∠BAE=30°．
∵AB∥CD，AF⊥CD，
∴∠BAF=90°．
∴∠EAF=60°．
∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF．
而

AM

AE

=

AN

AF

，
∴AM=AN．
∴△AMN是等边三角形．

点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质以及等边三角形的判定方法，题目的综合性较强，难度中等．