Question

7．等边三角形ABC中，点M，N分别在边BC，AC上，BM=CN．
（1）如图（1），求∠BQM的度数．
（2）如图（2），过点A作AD⊥BN于点D，AQ=2QD吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABM≌△BCN，得∠BAM=∠CBN，由∠BQM=∠BAM+∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC=60°，即可解决问题．
（2）利用直角三角形30度角性质即可证明．

解答 解：（1）如图（1）中，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{MB=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAM+∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC=60°．

（2）结论：AQ=2QD．
理由：如图（2）中，在Rt△AQD中，∵∠ADQ=90°，∠AQD=∠BQM=60°，
∴∠QAD=90°-∠AQD=30°，
∴AQ=2QD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形中30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．