Question

1．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）求证：BE=DF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据HL证出两直角三角形全等即可；
（2）根据全等三角形性质推出AF=AE，DF=BE，设BE=x，则AE=21-x，DF=x，AF=9+x，得出方程21-x=9+x，求出BE，根据勾股定理求出CE即可．

解答 解（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，△BCE与△DCF都是直角三角形，
在Rt△BEC和Rt△DFC中
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL），
∴BE=DF．

（2）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，
∴BE=DF，
∵CF⊥AF，CE⊥AB，
∴∠F=∠CEA=90°，
∵AC平分∠BAF，
∠FAC=∠EAC，
在△FAC和△EAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠AEC}\\{∠FAC=∠EAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△FAC≌△EAC（AAS），
∴AE=AF，
设BE=x，则AE=21-x，DF=x，AF=9+x，
∴21-x=9+x，
∴x=6，即BE=6，
在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，
∴由勾股定理得：CE=8．

点评 本题考查了全等三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．