Question

11．如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点 O 出发，沿 x 轴向右以每秒1 个单位长的速度运动 t（t＞0）秒，抛物线 y=x²+bx+c 经过点 O 和点 P．已知矩形 ABCD 的三个顶点为 A（1，0），B（1，-5），D（4，0）．
（1）求c，b（可用含 t 的代数式表示）；
（2）当 t＞1 时，抛物线与线段 AB 交于点 M．在点 P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；
（3）在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出 t 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y=x²+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；
（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；
（3）根据图形，即可直接求得答案．

解答 解：（1）把x=0，y=0代入y=x²+bx+c，得c=0，
再把x=t，y=0代入y=x²+bx，得t²+bt=0，
∵t＞0，
∴b=-t；

（2）不变．
∵抛物线的解析式为：y=x²-tx，且M的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1-t，
∴M（1，1-t），
∴AM=|1-t|=t-1，
∵OP=t，
∴AP=t-1，
∴AM=AP，
∵∠PAM=90°，
∴∠AMP=45°；
（3）$\frac{7}{2}$＜t＜$\frac{11}{3}$．
①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解；
②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方：
则有-4＜y₂＜-3，-2＜y₃＜-1即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，$\frac{7}{2}$＜t＜4且$\frac{10}{3}$＜t＜$\frac{11}{3}$，解得$\frac{7}{2}$＜t＜$\frac{11}{3}$；
③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解；
④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解；
⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；
综上所述，t的取值范围是：$\frac{7}{2}$＜t＜$\frac{11}{3}$．

点评 此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应．．