Question

3．已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为AB，等腰直角△BCD绕点B旋转．
（1）如图1，当等腰直角△BCD运动至斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD交量角器边缘于点E，F，第三边交量角器边缘于点H时，点G在量角器上的读数为20°，求此时点H在量角器上的读数．
（2）如图2，当点G，E在量角器上的读数α，β满足什么关系时，等腰直角△BCD的直角边CD会与半圆O相切于点E？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OG、OH．由题意可知：∠AOG=20°，由等腰直角三角形的性质可求得∠CBD=45°，接下来，依据圆周角定理可求得∠HOG=90°，最后依据∠AOH=∠AOG+∠GOH求解即可；
（2）连接OG、OE．先由切线的性质证明OE⊥DC，然后依据平行线的判定定理可证明EO∥CB，接下来依据平行线的性质和可得到∠EOA=∠CBA，最后结合圆周角定理以及∠ABC、∠ABG、∠DBC的关系可得到α、β的关系．

解答 解：（1）如图1所示：连接OG、OH．

∵点G在量角器上的读数为20°，
∴∠AOG=20°．
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CBD=45°．
∴∠HOG=90°．
∴∠AOH=∠AOG+∠GOH=20°+90°=110°．
（2）如图2所示：连接OG、OE．

∵DC为圆O的切线，E为切点，
∴∠OED=90°．
∴∠OED=∠C．
∴EO∥CB．
∴∠EOA=∠CBA=β．
又∵∠GBA=$\frac{1}{2}$∠GOA=$\frac{1}{2}$α，∠ABC=∠ABG+∠DBC，
∴β=$\frac{1}{2}α$+45°．

点评 本题主要考查的是切线的性质和圆周角定理的应用，正确∠AOE=∠CBA=∠ABG+∠DBC是解题的关键．