Question

如图，⊙O的半径为4，AB是弦，且∠OAB=45°，点P是

APB

上任一点（与端点A、B不重合），PD⊥AB于点D，以点D为圆心、DP长为半径作⊙P，分别过点A、B作⊙P的切线，两条切线相交于点C．
（1）求AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值？若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；
（3）记△ABC的面积为S，当S取得最大值时，求此时PD的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接OB，如图1，先证明△OAB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质易得AB=4

2

；
（2）连接PA、PB，作圆周角∠AEB，根据圆周角定理得∠AEB=

1

2

∠AOB=45°，再根据圆内接四边形的性质得∠APB=180°-∠AEB=135°，然后根据⊙P为△ABC的内切圆，利用内心的性质得∠PAB=

1

2

∠CAB，∠PBA=

1

2

∠CBA，利用三角形的内角和定理得∠PAB+∠PBA=45°，则∠CAB+∠CBA=90°，所以∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°；
（3）由于AB不变，所以当C点到AB的距离最大时，S最大，此时点P为弧AB的中点，由于PD⊥AB，根据垂径定理的推理得PD经过点O，再根据等腰直角三角形的性质得OD=

1

2

AB=2

2

，所以PD=OP-OD=4-2

2

．

解答：解：（1）连接OB，如图，
∵OA=OB，∠OAB=45°，
∴∠OBA=45°，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=

2

OA=4

2

；
（2）∠ACB为定值．
连接PA、PB，作圆周角∠AEB，
∵△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴∠AEB=

1

2

∠AOB=45°，
∴∠APB=180°-∠AEB=135°，
∵以点D为圆心、DP长为半径作⊙P，分别过点A、B作⊙P的切线，即⊙P为△ABC的内切圆，
∴PA、PB分别平分∠CAB和∠CBA，
∴∠PAB=

1

2

∠CAB，∠PBA=

1

2

∠CBA，
∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=180°-135°=45°，
∴

1

2

∠CAB+

1

2

∠CBA=45°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠CBA）=90°；
（3）当C点到AB的距离最大时，S最大，此时点P为弧AB的中点，
∵PD⊥AB，
∴PD经过点O，
∴OD=

1

2

AB=2

2

，
∴PD=OP-OD=4-2

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握三角形内心的性质、垂径定理、圆周角定理和圆内接四边形的性质；会利用等腰直角三角形的性质进行计算．