Question

如图，抛物线y=

1

2

x²+x-4交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为H，其对称轴交x轴于点N．直线l经过B、D两点，交抛物线的对称轴于点M，其中点D的横坐标为-5．
（1）连接AM，求△ABM的周长；
（2）若P是抛物线位于直线BD的下方且在其对称轴左侧上的一点，当四边形DPHM的面积最大时，求点P的坐标；
（3）连接AC，若F为y轴上一点，当∠MBN=∠FAC时，求F点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出D点、A点、B点坐标，进而利用待定系数法求出直线DB的解析式，再利用勾股定理得出BM的长，即可得出△ABM的周长；
（2）首先表示出P，Q点的坐标，进而表示出S_{四边形DPHM}=S_△DPM+S_△PMH，利用二次函数最值求出即可；
（3）分别利用当F在C的上方时，得出△MBN∽△F₁AG₁，进而得出F点坐标，当F在C的下方时，得出△AOF₂∽△G₂CF₂，进而得出F点坐标．

解答：解：（1）当x=-5，y=

7

2

，则D（-5，

7

2

）
令y=0，则

1

2

x²+x-4=0，
解得：x₁=-4，x₂=2，
则A（-4，0），B（2，0），
则AB=6，
设直线DB的解析式为y=kx+b，
则

-5k+b= 7 2 2k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=1

，
则直线DB的解析式为y=-

1

2

x+1，
抛物线对称轴为x=-1，则M（-1，

3

2

）
在Rt△MNB中，MB2=MN2+NB2=

45

4

，
∴MB=

3 5

2

，
MN垂直平分AB，则AM=BM=

3 5

2

，
则C_△ABM=AM+BM+AB=3

5

+6，
所以△ABM的周长为；3

5

+6；

（2）如图1，连接PM，过P作PQ垂直于x轴交l于Q
抛物线的顶点坐标H为（-1，-

9

2

）

令P（m，

1

2

m²+m-4），则Q（m，-

1

2

m+1），
则PQ=-

1

2

m+1-

1

2

m²-m+4=-

1

2

m²-

3

2

m+5，
S_△DPM=S_△DQP+S_△MQP=

1

2

QP×4=2QP=-m²-3m+10，
S_△PMH=

1

2

×（

3

2

+

9

2

）×（-1-m）=-3-3m，
故S_{四边形DPHM}=S_△DPM+S_△PMH=-m²-3m+10-3-3m=-m²-6m+7（-5＜m＜-1）
∵-5＜-3＜-1，
∴抛物线开口向下，
故当m=-

b

2a

=-3时，S_{四边形DPHM}最大，则

1

2

m²+m-4=

1

2

×（-3）²+（-3）-4=-

5

2

，
则P（-3，-

5

2

）；

（3）如图2，当F在C的上方时，过F₁作F₁G₁⊥AC于G₁
在△MNB中，MN=

3

2

，BN=3，∴

MN

NB

=

1

2

由题意可得，∠ACO=45°，
∵∠MBN=∠F₁AC，∠MNB=∠F₁G₁A，
∴△MBN∽△F₁AG₁
∴

F1G1

AG1

=

MN

NB

=

1

2

，
令F₁G₁=a，则AG₁=2a，则CG₁=a，F₁C=

2

a，
∵AC=3a=4

2

，则a=

4 2

3

，则F₁C=

8

3

，
∴OF₁=

4

3

，∴F₁（0，-

4

3

），
当F在C的下方时，过C作CG₂⊥y轴交AF₂于G₂，
在△F₁AC和△G₂AC中
∵

∠ACF1=∠ACG2 AC=AC ∠F1AC=∠CAG2

∴△F₁AC≌△G₂AC（ASA），
∴CG2=CF1=

8

3

，
∵CG₂∥AO，
∴△AOF₂∽△G₂CF₂，
∴

AO

OF2

=

G2C

CF2

，
∴

4

4+CF2

=

8 3

CF2

，
解得：CF₂=8，
故F₂（0，-12）
综上，当∠MBN=∠FAC时，F₁（0，-

4

3

），F₂（0，-12）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数综合等知识，利用F点位置的不同分类讨论得出是解题关键．