Question

已知抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E且OE=4，点A是抛物线OPE的一个动点（不与点O、E重合），作AB⊥X轴于点B，线段AB的最大值是PM=4．
（1）求抛物线OPE的解析式．
（2）当点A运动到什么位置时，图中的矩形ABCD是正方形？并求出点A的坐标．
（3）是否在此抛物线上存在点A使得△ABO与△PMO相似？若存在，请求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先求出点O，E，P的坐标，利用待定系数法求解即可．
（2）设当A的坐标为（x，-x²+4x）时，矩形ABCD是正方形，利用正方形的边长相等求解．
（3）分两种情况：①当∠BAO=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；②当∠AOB=∠MPO时，△ABO与△PMO相似；利用比例式求解．

解答：解：∵抛物线OPE与x轴的交点为点O、点E且OE=4，
∴O（0，0），E（4，0），
∵AB⊥X轴于点B，线段AB的最大值是PM=4．
∴P（2，4），
∵抛物线OPE过原点，设它的解析式为y=ax²+bx，
把E（4，0），P（2，4），代入y=ax²+bx，得

16a+4b=0 4a+2b=4

解得

a=-1 b=4

．
∴抛物线OPE的解析式为y=-x²+4x．
（2）设当A的坐标为（x，-x²+4x）时，矩形ABCD是正方形，
∵OM=2，
∴BM=2-x，
BC=2BM=2（2-x）=4-2x，
∵AB=-x²+4x，
∴-x²+4x=4-2x，解得x=3-

5

或x=3+

5

（舍去）．
∴-x²+4x=2

5

-2，
∴点A的坐标（3-

5

，2

5

-2），
（3）存在．
设点A的坐标为（x，-x²+4x）时，△ABO与△PMO相似，
①当∠BAO=∠MPO时，
∵

AB

PM

=

OB

OM

，
∴

-x2+4x

4

=

x

2

，
解得x=2或x=0（舍去），
点A的坐标为（2，4）时，即与点P重合，
②当∠AOB=∠MPO时，
∵

OB

PM

=

AB

OM

，
即

x

4

=

-x2+4x

2

，解得x=

7

2

或x=0（舍去）
∴-x²+4x=

7

4

，
∴点A的坐标（

7

2

，

7

4

），
综上所述当A的坐标为（2，4）或（

7

2

，

7

4

）时，△ABO与△PMO相似．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及三角形相似，二次函数解析式及正方形性质，解题的关键是利用三角形相似列出方程．