Question

如图，菱形ABCD中，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与菱形的顶点重合），且满足CF=DE，∠A=60°．
（1）写出图中一对全等三角形：

 

；
（2）求证：△BEF是等边三角形；
（3）若菱形ABCD的边长为2，设△DEF的周长为m，则m的取值范围为

 

（直接写出答案）；
（4）连接AC分别与边BE、BF交于点M、N，且∠CBF=15°，试说明：MN²+CN²=AM²．

Answer 1

考点：菱形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据题意可判断出AE=DF，DE=CF，从而结合菱形的性质即可得出全等三角形的对数，选择一对进行证明即可；
（2）根据（1）可得出BE=BF，∠EBF=60°，继而可判定△BEF为正三角形；
（3）由（2）知，DE+DF+EF=AD+BE．因为AD=2，则当BE⊥AD时，BE最短，所以由三角函数求出BE，从而得出m的最小值；
（4）如图2，把△BNC绕点B逆时针旋转120°，使CB与AB重合，N对应点为N′，连接MN′．构建全等三角形：△N′BM≌△NBM（SAS），利用该全等三角形的性质、结合已知条件和图形得到∠AN′M=135°-45°=90°，所以由勾股定理证得MN²+CN²=AM²．

解答：（1）解：如图1，△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；
证明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，

BD=BC  ∠C=∠BDE DE=CF

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）．
故答案可以是：△BDE≌△BCF．

（2）证明：如图1，∵由（1）知，△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；


（3）解：如图1，由（2）知，△BEF是等边三角形，则EF=BE=BF．
则m=DE+DF+EF=AD+BE．
当BE⊥AD时，BE最短，此时△DEF的周长最短
∵在Rt△ABE中，sin60°=

BE

AB

，即

BE

2

=

3

2

，
∴DE=

3

．
∴m=2+

3

．
当点E与点A重合，△DEF的周长最长，此时m=2+2=4．
综上所述，m的取值范围是：2+

3

≤m＜4；
故答案是：2+

3

≤m＜4；

（4）证明：如图2，把△BNC绕点B逆时针旋转120°，使CB与AB重合，N对应点为N′，连接MN′．则∠NBC=∠N′BA．
∴∠N′BA+∠EBA=60°=∠EBF．
在△N′BM与△NBM中，

BN=BN′ ∠N′BM=∠NBM BM=BM

，
∴△N′BM≌△NBM（SAS），
∴N′M=NM，∠MN′B=∠MNB=45°．
又∵∠AN′B=∠BNC=180°-（15°+30°）=135°，
∴∠AN′M=135°-45°=90°，
∴MN²+CN²=AM²．

点评：本题是菱形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理综合性的题目，难度较大．解题时要注意数形结合．