Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．
（1）图中是否存在与△ODM相似的三角形？若存在，请找出并给于证明．
（2）设DM=x，OA=R，求R关于x 的函数关系式；是否存在整数R，使得利用正方形ABCD内部的扇形OAM围成的圆锥地面周长可以为4π？若存在请求出此时DM的长；不存在，请说明理由．
（3）在动点O逐渐向点D运动（OA逐渐增大）的过程中，△CMN的周长如何变化？说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）可以选择证明△ODM∽△MCN；
（2）先利用勾股定理求出R关于x的表达式，再由R的取值范围，分别讨论求解；
（3）根据△ODM∽△MCN，利用对应边成比例得出CN，同理得出MN，表示出△CMN的周长，即可作出判断．

解答：解：（1）∵MN切⊙O于点M，
∴∠OMN=90°，
∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°，
∴∠OMD=∠MNC，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△ODM∽△MCN．

（2）在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R，
∴OD=AD-OA=8-R，
由勾股定理得：（8-R）²+x²=R²，
∴64-16R+R²+x²=R²，
∴OA=R=

x2+64

16

，
∵4＜OA＜8，即4＜R＜8，
∴当R=5时，∠MOA超过180⁰，不符合，舍去，
当R=6时，∠MOA=120°，
∴x=±4

2

，
∵x＞0，
∴x=4

2

，
同理当R=7时，x=

38

．

（3）∵CM=CD-DM=8-x，OD=8-R=8-

x2+64

16

，
且有△ODM∽△MCN，
∴

MC

OD

=

CN

DM

，
∴代入得到：CN=

16x

x+8

，
同理

MC

OD

=

MN

OM

，
∴代入得到：MN=

x2+64

x+8

，
∴△CMN的周长为P=CM+CN+MN=（8-x）+

16x

x+8

+

x2+64

x+8

=（8-x）+（x+8）=16，
在点O的运动过程中，△CMN的周长始终为16，是一个定值．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了勾股定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质，综合的知识点较多，此类题目对学生的综合能力要求较高，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想的运用．