Question

20．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点C作CF∥AB，与⊙O的切线BE交于点E，连接DE．
（1）求证：BD=CD；
（2）求证：△CAB∽△CDE；
（3）设△ABC的面积为S₁，△CDE的面积为S₂，直径AB的长为x，若∠ABC=30°，S₁、S₂ 满足S₁+S₂=$28\sqrt{3}$，试求x的值．

Answer 1

分析 （1）因为AB=AC，欲证明BD=DC，只要证明AD⊥BC即可．
（2）可以根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明．
（3）分别用x表示S₁、S₂，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD．
（2）∵AB∥CE，
∴∠2=∠1，
∵AB=AC，
∴∠1=∠3，
∵BE是⊙O切线，
∴∠ABE=90°，
∵AB∥CE，
∴∠BEC+∠ABE=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BD=DC，
∴DE=DB=DC，
∴∠2=∠4，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∴△CAB∽△CDE．
（3）∵S₁=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$x•$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²．
∵△CAB∽△CDE，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$）²=$\frac{4}{3}$，
∴S₂=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$x²，
由题意：$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{16}$x²=28$\sqrt{3}$，
∴x=±8，
∵x＞0，
∴x=8．

点评 本题考查圆的综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题目，难度不大，是中考常考题型．