Question

1．问题背景：如图（a），点A，B在直线L的同侧，要在直线L上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于直线L的对称点 B′，连接A B′与直线L交于点C，则点C即为所求．

（1）运用：如图（b），已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O 上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为多少？写出解答过程．
（2）拓展：如图（c），在抛物线y=x²-2x-3的对称轴上有两动点M，N（点M在点N的下方），且MN=6，试求四边形ACMN的周长最小值 （直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B₁点，连接AB₁，当P点为AB₁与CD的交点时，AP+BP的值最小，根据勾股定理求出AB₁，即可得出PA+PB的最小值．
（2）由于AC与MN的长度都是定值，所以当四边形ACMN的周长最小时，AN+CM最小．将点C向上平移6个单位得C′，连接BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位即得到点M，则AN+CM=BC′最小，运用勾股定理即可求出BC′的长度．

解答 解：（1）如图b，过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B₁点，连接AB₁，
当P点为AB₁与CD的交点时，AP+BP的值最小．
过A点作CD的垂线交CD于F点，交圆O于H点，过B₁作AH的垂线交AH于G点．
由垂径定理可知：BP=B₁P；
∵∠ACD=30°，B为弧AD的中点，
∴OE=$\sqrt{3}$OF=1．
∴EF=B₁G=$\sqrt{3}$，又由于AG=AF+FG=$\sqrt{3}$，
AB₁²=AG²+B₁G²=（$\sqrt{3}$+1）²+（$\sqrt{3}$-1）²=3．
∴AB₁=2$\sqrt{2}$，即AP+BP的最小值为2$\sqrt{2}$．
（2）如图c，将点C（0，-3）向上平移6个单位得C′（0，3），连BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位得点M，则AN+CM最小．
∵CC′∥MN，CC′=MN=6，
∴CC′NM是平行四边形，
∴C′N=CM．
∵A、B两点关于MN对称，
∴BN=AN，
∴AN+CM=BN+C′N=BC′．
∵B（3，0），C′（0，3），
∴BC′=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
即四边形ACMN的周长最小时，AN+CM的长为3$\sqrt{2}$，周长最小值是$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$+6+3$\sqrt{2}$=$\sqrt{10}$+3$\sqrt{2}$+6．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点，轴对称-最短路线问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理以及和圆有关的性质，综合性较强，有一定难度．（2）中确定点M、N的位置是解题的关键．