Question

12．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x²-4x+3=0的解．
（1）求M点的坐标．
（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．

Answer 1

分析 （1）过点M作ME⊥x轴于点E，连接MC，解出方程后可知OA=1，OB=3，然后即可求出OE的长度，由于C是切点，所以MC是半径，又因为MC=OE，从而可知⊙M的半径，利用垂径定理即可求出M的坐标．
（2）由于点P的位置不确定，需要分两种情况进行讨论，可根据圆周角定理以及圆内接四边形的性质求解．

解答 解：（1）过点M作ME⊥x轴于点E，连接MC，
∵OA，OB的长是方程x²-4x+3=0的解，
∴解得x=1或x=3，
∴OA=1，OB=3，
∴A（1，0），B（3，0）
由垂径定理可知：AE=BE，
∴E（2，0），
∴OE=2，AE=1，
∵⊙M与y轴切于点C，
∴MC是⊙M的半径，
∴MC=OE=2，
∴由勾股定理可知：ME=$\sqrt{3}$，
∴M的坐标为（2，$\sqrt{3}$）；
（2）连接MB、AM
当点P在x轴上方时，
由（1）可知：AM=2，AE=1，
∴∠AME=30°，
∴由垂径定理可知：∠AMB=60°，
∴由圆周角定理可知：∠APB=$\frac{1}{2}$∠AMB=30°，
当点P在x轴下方时，
∴由圆内接四边形的性质可知：此时∠APB=180°-30°=150°

点评 本题考查圆的相关性质，解题的关键是根据OA与OB的长度，以及切点C求出⊙M的半径，从而根据垂径定理、勾股定理，圆周角定理求出M的坐标和∠APB的度数．