Question

18．如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，M为AB中点，在AC上任取一点P（与点A、C不重合），连接PM，过点M作MQ⊥MP于点Q，连接PQ．
（1）画出点P关于点M对称的点N，连接BN，说明BN与AC所在直线的位置关系；
（2）问：以线段AP、PQ、QB为边，能否构成直角三角形？简要说明理由；
（3）设CQ=a、BQ=b，试用含a、b的代数式表示△PMQ的面积．

Answer 1

分析 （1）延长PM到N使得MN=PM即可．连接AN、PB只要证明四边形APBN是平行四边形即可解决问题．
（2）首先证明△QBN是直角三角形，再证明QN=PQ，AP=BN即可．
（3）首先证明△MAP≌△MCQ，得到ABN=CQ，PM=MQ，求出QN即可．

解答 解：（1）点P关于点M对称的点N如图所示，BN与AC所在直线的位置关系：BN∥AC．
理由：连接AN、PB，
∵AM=MB，PM=MN，
∴四边形APBN是平行四边形，
∴BN∥PA，即BN∥AC．

（2）以线段AP、PQ、QB为边，能构成直角三角形．
理由：∵四边形APBN是平行四边形，
∴PA=BN，PA∥BN，
∴∠PAB=∠ABC，
∵CA=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠NBA=45°，
∴∠QBN=90°
∵PM=MN，QM⊥PN，'∴PQ=QN，
∵△QBN是直角三角形，
∴以线段AP、PQ、QB为边，能构成直角三角形．

（3）∵AC=CB，∠ACB=90°，AM=BM，
∴CM=AM=BM，∠CAB=∠MCQ=45°，
∵∠AMC=∠PMQ，
∴∠AMP=∠CMQ，
在△MAP和△MCQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAP=∠MCQ}\\{AM=CM}\\{∠AMP=∠CMQ}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△CMQ，
∴AP=CQ=BN，PM=MQ，
∴QN=PQ=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，△PMQ是等腰直角三角形，
∴S_△PMQ=$\frac{1}{4}$•PQ²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}$

点评 本题考查三角形综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．