Question

12．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

Answer 1

分析 （1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案；
（3）根据角之间关系，只要满足∠B+∠D=180°时，就可以得出三角形全等，即可得出答案．

解答 解：（1）如图①所示；

根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案为：FAE；△EAF；GF；
（2）EF=BF+DE．
理由：如图2所示；将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG．

由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠4，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠FAE=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠1+∠5=$\frac{1}{2}$∠DAB．
∴∠4+∠5=∠GAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．
∴∠GAF=∠AEF．
∵在△AGF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF．
∵BG+BF=FG，BG=DE，
∴DE+BF=EF．
（3）当∠B与∠D满足∠B+∠D=180°时，可使得DE+BF=EF．
理由：如图③所示；将△ADE旋转得到△ABG．

由旋转的性质可知：AD=AB、AE=AG，∠DAE=∠BAG．
∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABG+∠ABC=180°．
∴点G、B、F在一条直线上．
∵∠FAE=$\frac{1}{2}$∠DAB，
∴∠DAE+∠BAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．
∴∠GAB+∠BAF=∠GAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．
∴∠GAF=∠AEF．
∵在△AGF和△AEF中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=AE}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF．
∵BG+BF=FG，BG=DE，
∴DE+BF=EF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF≌△EAF是解题的关键．