题目内容

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，点D为BC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，当点P离开点A后，过点P作PE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥AC于F，设点P运动时间为t（秒），矩形PEFA与△ADE重叠部分的面积为S平方单位长度．
（1）PE的长为$\frac{3}{4}$（4-t）（用含t的代数式表示）；
（2）求S与t之间的函数表达式；
（3）求S的最大值及S取得最大值时t的值；
（4）当S为△ABC面积的$\frac{1}{10}$时，t的值有4个．

分析 （1）根据EP∥AC，得$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，列出比例式即可解决．
（2）分两种情形讨论①如图1中，当0＜t≤2时，根据S=$\frac{1}{2}$•EG•AP即可计算，②如图2中，当2＜t≤4时，根据S=$\frac{1}{2}$•GE•AF即可计算．
（3）分两种情形，利用配方法根据二次函数性质即可解决．
（4）分两种情形，列出方程即可解决，注意检验是否符合题意．

解答 解：（1）如图1中，∵EP∥AC，
∴$\frac{PE}{AC}$=$\frac{BP}{BA}$，
∴$\frac{PE}{3}$=$\frac{4-t}{4}$，
∴PE=$\frac{3}{4}$（4-t）．
故答案为$\frac{3}{4}$（4-t）．
（2）①当0＜t≤2时，
∵∠BAC=90°，CD=DB，
∴∠DAB=∠B，∵∠APG=∠BAC=90°，
∴△APG∽△BAC，
∴$\frac{PG}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴$\frac{PG}{3}$=$\frac{t}{4}$，
∴PG=$\frac{3}{4}$t，
∴EG=3-$\frac{3}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•EG•AP=-$\frac{3}{4}$t2+$\frac{3}{2}$t．
②当2＜t≤4时如图2中，∵∠FAG=∠C，∠AFG=∠BAC，
∴△AFG∽△CAB，
∴$\frac{FG}{AB}$=$\frac{AF}{AC}$，
∴FG=4-t，GE=2t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$•GE•AF=-$\frac{3}{4}$t2+$\frac{9}{2}t$-6．
综上所述S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{3}{2}t}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{9}{2}t-6}&{（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．
（3）当0＜t≤2时，S=-$\frac{3}{4}$（t-1）2+$\frac{3}{4}$，∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴t=1时，S最大值为$\frac{3}{4}$，
当2＜t≤4时，S=-$\frac{3}{4}$（t-3）2+$\frac{3}{4}$，∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴t=3时，S最大值为$\frac{3}{4}$．
综上所述t=1或3时，S最大值都是$\frac{3}{4}$．
（4）由题意-$\frac{3}{2}\\;{t}^{2}$t2+$\frac{3}{2}$t=$\frac{6}{10}$，整理得到5t2-10t+4=0，t=$\frac{5±\sqrt{5}}{5}$符合题意．
或-$\frac{3}{4}\\;{t}^{2}$t2+$\frac{9}{2}$t-6=$\frac{6}{10}$，整理得到5t2-30t+44=0，t=$\frac{15±\sqrt{5}}{5}$符合题意，
∴S为△ABC面积的$\frac{1}{10}$时，t的值有四个，
故答案为4．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、三角形面积等知识，解题的关键是学会分类讨论，构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．

练习册系列答案
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∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠FAE．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．
∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
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