Question

4．如图，半径为2的⊙O中，弦BC=2$\sqrt{3}$，A是优弧BC上的一个动点，P点是△ABC的内心，经过B、C、P三点作⊙M，当点A运动时，⊙M的半径（　　）

• A． 发生变化，随A位置决定
• B． 不变，等于2
• C． 有最大值为2$\sqrt{3}$
• D． 有最小值为1

Answer 1

分析 作直径BD，由圆周角定理得出∠BCD=90°，∠BAC=∠D，由三角函数求出∠BAC=∠D=60°，得出∠BOC=2∠BAC=120°，∠ABC+∠ACB=120°，由内心的性质得出∠PBC+∠PCB=60°，由三角形内角和定理求出∠BPC=120°=∠BOC，证出点O在⊙M上，延长OM=CM，证出$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，得出∠BOM=∠COM=60°，得出△OCM是等边三角形，即可得出结论．

解答 解：作直径BD，连接CD，OC，BM，CM，OM，如图所示：
则∠BCD=90°，∠BAC=∠D，
∴sinD=$\frac{BC}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠BAC=∠D=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=120°，∠ABC+∠ACB=120°，
∵P点是△ABC的内心，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BPC=120°=∠BOC，
∴点O在⊙M上，
∴OM=CM，
∵BM=CM，
∴$\widehat{BM}=\widehat{CM}$，
∴∠BOM=∠COM=60°，
∴△OCM是等边三角形，
∴CM=OC=2，
即⊙M的半径不变，等于2．
故选：B．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心、三角函数的运用、圆周角定理、三角形内角和定理、等边三角形的判定与性质以及圆心角、弧、弦之间的关系等知识；本题综合性强，有一定难度．