Question

19．已知：△ABC中，AB=13，AC=9，BC=4$\sqrt{10}$，BD⊥AC于D．
（1）求线段BD的长；
（2）点P为射线BC上一动点，若△BDP为等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）设AD=x，则CD=9-x，由勾股定理得出方程${13^2}-{x^2}={（{4\sqrt{10}}）^2}-{（{9-x}）^2}$，解方程求出AD，再由勾股定理求出BD即可；
（2）分三种情况讨论：①若BD=BP，则BP=12；
②若DP=DB，过点D作DE⊥BC于点E，由三角形的面积求出DE，由勾股定理求出BE，即可得出BP的长；
③若PD=PB，则∠1=∠2，求出∠3=∠4，得出PD=PC，因此BP=PC，即可得出结果．

解答 解：（1）设AD=x，则CD=9-x，∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°，
由勾股定理得：AB²-AD²=BD²=BC²-CD²，
∴${13^2}-{x^2}={（{4\sqrt{10}}）^2}-{（{9-x}）^2}$，
解得：x=5，
∴BD=$\sqrt{A{B^2}-A{D^2}}$=12；                                    
（2）∵△BDP为等腰三角形，
∴分三种情况：
①若BD=BP，则BP=12，
②若DP=DB，
过点D作DE⊥BC于点E，如图1所示：
∵${S_{△BDC}}=\frac{1}{2}BD•CD=\frac{1}{2}BC•DE$
∴$DE=\frac{BD•CD}{BC}=\frac{12×4}{{4\sqrt{10}}}=\frac{6}{5}\sqrt{10}$，
∴$BE=\sqrt{B{D^2}-D{E^2}}=\frac{18}{5}\sqrt{10}$，
∵BD=DP且DE⊥BC，
∴BP=2BE=$\frac{36}{5}$$\sqrt{10}$，
③若PD=PB，如图2所示：
∵PD=BP，
∴∠1=∠2，
∵∠BDC=90°，
∴∠2+∠3=90°且∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4
∴PD=PC，
∴BP=PC，
∴BP=$\frac{1}{2}$BC=$2\sqrt{10}$，
综上所述：当△BDP为等腰三角形时，BP=12或$\frac{36}{5}$$\sqrt{10}$或$2\sqrt{10}$．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理得出方程和进行计算是解决问题的关键．