Question

18．已知m是整数，且关于x的方程$\frac{1}{2}$x²+mx+mk-2=0有整数解，求k的值．

Answer 1

分析 先计算判别式的值，再利用求根公式得到x=-m±$\sqrt{{m}^{2}-2mk+4}$，利用m为整数，则m²-2mk+4为整数且为完全平方数时，方程的解为整数，然后根据判别式得到（-2k）²-4×4=0，再解关于k的方程即可．

解答 解：∵△=m²-4×$\frac{1}{2}$×（mk-2）=m²-2mk+4，
∴x=$\frac{-m±\sqrt{{m}^{2}-2mk+4}}{2×\frac{1}{2}}$=-m±$\sqrt{{m}^{2}-2mk+4}$，
而m为整数，
∴当m²-2mk+4为整数且为完全平方数时，方程的解为整数，
∴（-2k）²-4×4=0，
∴k=±2．

点评 本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b²-4ac）判断方程的根的情况：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．