Question

6．等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合）设BP=x，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N．（如图1）．
（1）求证：AM=AN；
（2）若BM=$\frac{3}{8}$，求x的值；
（3）求四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S与x之间的函数关系式及S的最小值；
（4）如图2，连接DE分别与边AB、AC交于点G，H，当x为何值时，∠BAD=15°．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠PAN=∠DAM，证明△ADM≌△APN，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△BPM∽△CAP，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可；
（3）作PH⊥AB于H，根据勾股定理和锐角三角函数的概念求出S_△ADP，根据四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积得到答案；
（4）连接PG，根据菱形的性质、等腰直角三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵△ABC、△APD、△APE都是等边三角形，
∴AD=AP，∠ADM=∠APN=60°，∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠PAN=∠DAM，
在△ADM和△APN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠PAN}\\{AD=AP}\\{∠ADM=∠APN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△APN，
∴AM=AN；
（2）解：∵∠PMB=∠MPA+∠BAP，∠APC=∠B+∠BAP，∠MPA=∠B=60°，
∴∠PMB=∠APC，又∠B=∠C，
∴△BPM∽△CAP，
∴$\frac{BM}{PC}$=$\frac{BP}{AC}$，即$\frac{\frac{3}{8}}{2-x}=\frac{x}{2}$，
整理得，4x²-8x+3=0，
解得，x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{2}$，
∴当BM=$\frac{3}{8}$时，x的值为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$；
（3）如图1，作PH⊥AB于H，
∵△ADM≌△APN，
∴四边形ADPE与△ABC重叠部分四边形AMPN的面积S=△ADP的面积，
∵BP=x，∠B=60°，
∴BH=$\frac{1}{2}$x，PH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴AH=2-$\frac{1}{2}$x，
由勾股定理得，AP²=AH²+PH²=（2-$\frac{1}{2}$x）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}x$）²=x²-2x+4，
∵△ADP是等边三角形，
∴S_△ADP=$\frac{1}{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP×AP=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AP²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（4）连接PG，
当∠BAD=15°时，∵∠DAP=60°，
∴∠GAP=45°，
∵四边形ADPE是菱形，
∴AP⊥DE，
∴AG=PG，
∵∠B=60°，BP=x，
∴BG=$\frac{1}{2}$x，AG=PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=2，
解得，x=2$\sqrt{3}$-2，
∴当x=2$\sqrt{3}$-2时，∠BAD=15°．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及菱形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、正确作出辅助线是解题的关键．