Question

5．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{13}{6}$
• C． 1
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{FH}$，于是得到AE=AF，列方程即可得到结论．

解答 解：过F作FH⊥AE于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∴AF=3-DE，
∴AE=$\sqrt{4+D{E}^{2}}$，
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，
∴∠DAE=∠AFH，
∴△ADE∽△AFH，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AD}{FH}$，
∴AE=AF，
∴$\sqrt{4+D{E}^{2}}$=3-DE，
∴DE=$\frac{5}{6}$，
故选D．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．