Question

1．如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=$\frac{3}{5}$，直线MN过点C，∠ACM=∠B，点P是直线MN上一动点（不与点C重合），点D在射线CB上，满足∠DAP=∠BAC，设PC=x，S_△ABD=y，设直线PD交直线AC于点E．
（1）若点P在射线CM上，
①求证：△ABD∽△ACP；
②求y与x的函数关系式并直接写出x的范围．
（2）是否存在x的值，使△PCE为等腰三角形？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两角对应相等两个三角形全等进行判定即可．
（2）利用相似三角形性质求出BD即可解决问题．
（3）分两种情形①如图1中，当点P在射线CM上时，只有EC=EP这种情形，先证明△ACD∽△BCA，得到AC²=CD•CB，然后在RT△DEC中利用勾股定理即可解决．
②如图2中，当点P在射线CN上时，只有CP=CE这种情形，只要证明PC=CE=CA即可解决问题．

解答 （1）①证明：∵∠DAP=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAP，
又∵∠ACM=∠B，
∴△ABD∽△ACP；
②由①得：△ABD∽△ACP，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CP}$，即$\frac{10}{6}=\frac{BD}{x}$，
解得：BD=$\frac{5}{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{5x}{3}$×6=5x．
当点D与C重合时，BD=8=$\frac{5}{3}$x，
x=$\frac{24}{5}$，
∴0＜x≤$\frac{24}{5}$．
（2）①如图1中，当点P在射线CM上时，
∵△ABD∽△ACP，
∴∠ADB=∠APC，
∴A、D、C、P四点共圆，
∴∠APD=∠ACD=90°，
∴∠PEC=∠DCE+∠EDC＞90°，
∵△PEC是等腰三角形，
∴只有EC=EP，设EC=EP=x，
∴∠ECP=∠EPC=∠EAD=∠EDA，
∴AD∥PC，
∴∠DAC=∠ACP=∠ABC，∠ACD=∠ACB，
∴△ACD∽△BCA，
∴AC²=CD•CB，
∴6²=CD•8，
∴CD=$\frac{9}{2}$，
在RT△DEC中，∵∠DCE=90°，CE=x，DE=6-x，
∴（6-x）²=（$\frac{9}{2}$）²+x²，
∴x=$\frac{21}{16}$．
∴CE=$\frac{21}{16}$．
②如图2中，当点P在射线CN上时，
∵△ABD∽△ACP，
∴∠APC=∠ADB，
∴A、D、P、C四点共圆，
∴∠APD=∠ACB=90°
如果EC=EP，则∠∠EPC=∠ECP=∠EAD=∠EDA，PC∥AD，这个显然不可能，所以EC≠EP，
如果PC=PE，则∠PCE=∠PEC=∠ADE，所以AD=AE，因为AP⊥DE，所以PA平分∠DAE，显然不可能，∴PC≠PE，
只有CP=CE，∴∠CPE=∠E，∵∠CPE+∠APC=90°，∠E+∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠APC，
∴PC=AC=CE=6，
综上所述：EC=6或$\frac{21}{16}$时，△PCE是等腰三角形．

点评 本题考查相似三角形综合题、四点共圆、勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识，解题的关键是利用四点共圆证明AP⊥DP，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．