Question

14．已知关于x的一元二次方程x²-6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x₁，x₂，且2x₁x₂+x₁+x₂≥20，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（-6）²-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1，再利用2x₁x₂+x₁+x₂≥20得到2（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．

解答 解：（1）根据题意得△=（-6）²-4（2m+1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x₁+x₂=6，x₁x₂=2m+1，
而2x₁x₂+x₁+x₂≥20，
所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，
而m≤4，
所以m的范围为3≤m≤4．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根与系数的关系．