Question

17．如图，以BC为直径作半圆$\widehat{BAC}$，A为半圆的中点，现将半圆连同直径绕点A顺时针旋转45°，记点B、C的对应点分别为B′、C′，连接B′C，BC′，则$\frac{B′C}{BC′}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\sqrt{2}-1$
• D． 2$-\sqrt{2}$

Answer 1

分析 连结AB、AB′、AC、AC′．根据旋转的性质及圆周角定理得出∠BAC=90°，∠BAB′=∠CAC′=∠B′AC=45°，∠BAC′=135°，AB=AB′=AC=AC′．设半圆的半径为r．在△B′AC中，利用余弦定理求出B′C²=AB′²+AC²-2AB′•AC•cos∠B′AC=（2-$\sqrt{2}$）r²，在△BAC′中，求出BC′²=AB²+AC′²-2AB•AC′•cos∠BAC′=（2+$\sqrt{2}$）r²，进而得出$\frac{B′C}{BC′}$=$\sqrt{2}$-1．

解答 解：如图，连结AB、AB′、AC、AC′．
∵将半圆连同直径绕点A顺时针旋转45°，记点B、C的对应点分别为B′、C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=45°，AB=AB′=AC=AC′．
∵BC为半圆$\widehat{BAC}$的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B′AC=∠BAC-∠BAB′=90°-45°=45°，∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=90°+45°=135°．
设半圆的半径为r．
∵在△B′AC中，AB′=AC=r，∠B′AC=45°，
∴B′C²=AB′²+AC²-2AB′•AC•cos∠B′AC=r²+r²-2r•r•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2r²-$\sqrt{2}$r²=（2-$\sqrt{2}$）r²，
∵在△BAC′中，AB=AC′=r，∠BAC′=135°，
∴BC′²=AB²+AC′²-2AB•AC′•cos∠BAC′=r²+r²+2r•r•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2r²+$\sqrt{2}$r²=（2+$\sqrt{2}$）r²，
∴$\frac{B′{C}^{2}}{BC{′}^{2}}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）{r}^{2}}{（2+\sqrt{2}）{r}^{2}}$=$\frac{（2-\sqrt{2}）^{2}}{2}$，
∴$\frac{B′C}{BC′}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1．
故选C．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了圆周角定理，余弦定理．准确作出辅助线是解题的关键．