Question

如图，已知：?ABCD中，∠ABC的平分线BG，交AD于G，∠BCD的平分线CE，交BG于F，交AD于E．
（1）求证：BG⊥CE．
（2）若AB=3，BC=4，求EG的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）根据角平分线的性质以及平行四边形的性质得出∠CBG+∠BCE=90°，进而得出BG⊥CE；
（2）根据角平分线的性质以及平行四边形的性质得出∠ABG=∠CBG，则∠AGB=∠ABG，进而求出GD，AE的长，即可得出EG的长．

解答：（1）证明：∵?ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BG、CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，
∴∠ABG=∠CBG，∠BCE=∠DCE，
又∵∠ABG+∠CBG+∠BCE+∠DCE=180°，
∴∠CBG+∠BCE=90°，
在△BCF中，∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=90°
即BG⊥CE；
       
（2）解：∵?ABCD，
∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC=4，
∴∠AGB=∠CBG，
又∵BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴∠AGB=∠ABG，
∴AB=AG=3，
∴GD=AD-AG=4-3=1，
同理：AE=1，
∴EG=AD-AE-GD=4-1-1=2．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质和角平分线的性质等知识，得出∠AGB=∠ABG是解题关键．