Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（-1，0），B（-2，0），C（0，-2），直线x=m（m＜-2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m＜-2）上有一点E（点E在第二象限），使得以E、B、D为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据点A、C的坐标求出OA、OC的长，表示出BE的长，再利用相似三角形对应边成比例分两种情况求出DE的长度，然后写出点E的坐标即可；
（3）求出AB，再根据平行四边形的对边平行且相等表示出点F的横坐标，从而得到点F的坐标，然后代入二次函数解析式求出m的值，再根据m＜-2确定出m的值，然后求出点F的坐标，再利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（-2，0），C（0，-2），
∴

a-b+c=0 4a-2b+c=0 c=-2

，
解得

a=-1 b=-3 c=-2

，
∴二次函数的解析式为y=-x²-3x-2；

（2）∵A（-1，0），C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，
∵直线x=m（m＜-2）与x轴交于点D，
∴BD=-2-m，
∵以E、B、D为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，
∴

DE

OA

=

BD

OC

或

DE

OC

=

BD

OA

，
即

DE

1

=

-2-m

2

或

DE

2

=

-2-m

1

，
解得DE=-1-

1

2

m或DE=-4-4m，
∵点E在第二象限，
∴点E₁（m，-4-4m），E₂（m，-1-

1

2

m）；

（3）∵A（-1，0），B（-2，0），
∴AB=-1-（-2）=-1+2=1，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴EF=AB=1，
∴点F的横坐标为m+1，
∴点F的坐标为（m+1，-4-2m），（m+1，-1-

1

2

m），
①若点F为（m+1，-4-2m），∵点F在抛物线y=-x²-3x-2上，
∴-（m+1）²-3（m+1）-2=-4-2m，
整理得，m²+3m+2=0，
解得m₁=-1，m₂=-2，
∵m＜2，
∴都不符合，
②若点F为（m+1，-1-

1

2

m），∵点F在抛物线y=-x²-3x-2上，
∴-（m+1）²-3（m+1）-2=-1-

1

2

m，
整理得，2m²+9m+10=0，
解得m₁=-

5

2

，m₂=-2，
∵m＜2，
∴m=-

5

2

，
此时，m+1=-

5

2

+1=-

3

2

，
-1-

1

2

m=-1-

1

2

×（-

5

2

）=

1

4

，
点F的坐标为（-

3

2

，

1

4

），
∴四边形ABEF的面积为1×

1

4

=

1

4

，
故，抛物线上存在点F（-

3

2

，

1

4

），使四边形ABEF的面积为

1

4

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数图象上点的坐标特征，难点在于（2）要分情况讨论，（3）要注意m＜-2的取值范围．