Question

7．如图1，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点．DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F．
（1）求证：AE=BF；
（2）如图2，如果点G是BC延长线上一点，其余条件不变，则线段AF、BF、EF有什么数量关系？请证明出你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的四条边都相等可得DA=AB，再根据同角的余角相等求出∠BAF=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DAE全等，再根据全等三角形对应边相等可得BF=AE，AF=DE，然后根据图形列式整理即可得证；
（2）根据题意作出图形，然后根据（1）的结论可得BF=AE，AF=DE，然后结合图形写出结论即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠DEA=90°}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
（2）AF+BF=EF；
∵四边形ABCD是正方形，BF⊥AG，DE⊥AG，
∴DA=AB，∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ADE}\\{∠AFB=∠DEA=90°}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，AF=DE，
∴AF+EF=BF．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记正方形的四条边都相等，每一个角都是直角，然后求出三角形全等是解题的关键．