Question

19．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AD=4，∠AOD=50°，求AB的长．（精确到0.1）

Answer 1

分析 （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
（2）在RT△ADB中，根据tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$，求出∠ADB即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OA=OB，
∴OA=OB=OD=OC，
∴BD=AC，
∴四边形ABCD是矩形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠DAB=90°，
∠OAB=∠OBA，
∵∠AOD=∠OAB+∠OBA=50°，
在RT△ADB中，$\frac{AD}{AB}$=tan∠ABD，
∴AB=$\frac{AD}{tan25°}$≈8.6．

点评 本题考查矩形的判定和性质、平行四边形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是记住矩形的判定方法，记住三角函数的定义，属于中考常考题型．