Question

4．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB=16，以AB为直径的⊙O与BC边相交于点D，与AC交于点F，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求CE的长；
（3）过点B作BG∥DF，交⊙O于点G，求弧BG的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD，OD，则∠ADB=90°，AD⊥BC；又因为AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，OD∥AC，易证DE⊥OD，故DE为⊙O的切线；
（2）连接BF，由AB为⊙O的直径，得到∠AFB=90°，根据三角形的中位线的性质得到DE=$\frac{1}{2}$BF，CE=EF，根据直角三角形的性质得到BF=8，根据切割线定理即可得到结论；
（3）连接OG，根据平行线的性质得到∠ABG=∠CDF=30°，根据等腰三角形的性质得到∠OGB=∠OBG=30°，求得∠BOG=120°，根据弧长的公式即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，连接AD，OD；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC；
∵AB=AC，
∴BD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴∠ODE=∠DEA=90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）如图，2，连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴BF∥DE，
∵CD=BD，
∴DE=$\frac{1}{2}$BF，CE=EF，
∵∠A=30°AB=16，
∴BF=8，
∴DE=4，
∵DE为⊙O的切线，
∴ED²=EF•AE，
∴4²=CE•（16-CE），
∴CE=8-4$\sqrt{3}$，CE=8+4$\sqrt{3}$（不合题意舍去），

（3）如图3，连接OG，
∵∠CFD=∠ABD，
∴∠C=∠CFD=$\frac{180°-∠A}{2}$=75°，
∴∠CDF=30°，
∵BG∥DF，
∴∠ABG=45°，
∵OG=OB，
∴∠OGB=∠OBG=45°，
∴∠BOG=90°，
∴$\widehat{BG}$的长度=$\frac{90•π×8}{180}$=4π．

点评 本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，圆周角定理，切割线定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．