Question

4．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；
（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和角平分线的性质，得出∠DAC=∠BDE，即可证明DE∥AC．
（2）此题分两种情况求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根据相似三角形的性质即可求得．

解答 （1）证明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠BDC=2∠DAC，
又∵DE是∠BDC的平分线，
∴∠DAC=∠BDE，
∴DE∥AC；

（2）解：分两种情况：
①若△BME∽△CNE，必有∠MBE=∠NCE，
此时BD=DC，
∵DE平分∠BDC，
∴DE⊥BC，BE=EC，
又∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$即$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=5$，
∴AD=5，
②若△BME∽△ENC，必有∠EBM=∠CEN，
此时NE∥ME，
∵CD⊥NE，
∴CD⊥AB，
∴AD=AC•cosA=AC•$\frac{AC}{AB}$=6×$\frac{6}{10}$=3.6，
∴当AD=5或AD=3.6时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质和勾股定理，解题时要注意数形结合思想的应用，要注意不规则图形的面积的求解方法．