Question

9．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，∠BAE=∠DAF．联结AC交EF于点O，延长OC至点M，联结EM、FM．
（1）如果OM=OA，求证：四边形AEMF是菱形；
（2）如果∠MEC=15°，求证：△MEF是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）先判定△AEF是等腰三角形，再判定四边形AEMF是平行四边形，即可得出四边形AEMF是菱形；
（2）先根据等腰三角形AEF中，AO垂直平分EF，得出△EFM是等腰三角形，再求得∠FEM=60°，即可得出△MEF是等边三角形．

解答 证明：（1）∵∠BAE=∠DAF，AD=AB，∠D=∠B，
∴Rt△ADF≌Rt△ABE（ASA），
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，
∵正方形ABCD中，∠BAO=∠DAO=45°，∠BAE=∠DAF，
∴∠EAO=∠FAO，即AO平分∠EAF
∴EO=FO，
又∵OM=OA，
∴四边形AEMF为平行四边形，
又∵AE=AF，
∴四边形AEMF是菱形；

（2）由（1）可知，等腰三角形AEF中，AO垂直平分EF，
∴ME=MF，且∠EOC=90°，
∵正方形ABCD中，∠OCE=45°
∴∠OEC=45°，
∵∠MEC=15°，
∴∠OEM=60°，
∴△MEF是等边三角形．

点评 本题主要考查了菱形的判定与等边三角形的判定，解决问题的关键是运用正方形的性质以及等腰三角形三线合一的性质．在证明题中，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．