Question

19．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm²）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（　　）

• A． 当t=11s时，y=40cm²
• B． BE=10cm
• C． 当0≤t≤10时，y=$\frac{2}{5}$t²
• D． 当t=16s时，∠PBQ=30°

Answer 1

分析 根据图象可以得到10≤t≤14s时，y=40cm²，从而可以判断A；
根据图象可以得到BC和BE的长度，从而可以判断B；
根据函数图象可以求得在0＜t≤10时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积，从而可以判断C；
根据题意可以求得在t=16s时，点Q与点C重合，点P运动到边DC上，与D点相距2cm，在Rt△PBQ中利用三角函数定义求解，从而判断D．

解答 解：A、由图2可知，当t=11s时，y=40cm²，故A正确；
B、由图象可知，BC=BE=10cm，故B正确；
C、作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如下图所示，

由图象可知，三角形PBQ的最大面积为40，
∴$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$×10•EF=40，
解得EF=8，
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，
∴$\frac{PM}{EF}$=$\frac{BP}{BE}$，即$\frac{PM}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得PM=$\frac{4}{5}$t，
∴△BPQ的面积=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{4}{5}$t=$\frac{2}{5}$t²，
即y=$\frac{2}{5}$t²，故C正确；
D、当t=16s时，点Q与点C重合，
由图象可知，DE=14-10=4，
所以点P运动到边DC上，且DP=2cm，如下图所示，

在Rt△PBQ中，PC=DC-DP=8-2=6，BC=10，
∴BP=$\sqrt{P{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{34}$，
∴sin∠PBQ=$\frac{PC}{BP}$=$\frac{6}{2\sqrt{34}}$=$\frac{3\sqrt{34}}{34}$≠$\frac{1}{2}$，
∴∠PBQ≠30°，故D错误；
故选D．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．