Question

2．如图，矩形纸片ABCD，已知AB=2，BC=4，若点E是AD上一动点（与A不重合），其0＜AE≤2，沿BE将△ABE翻折，点A落在点P处，连结PC，有下列说法：
①△ABE和△PBE关于直线BE对称；
②线段PC的长有可能小于2；
③四边形ABPE有可能为正方形；
④当△PCD是等腰三角形时，PC=2或$\sqrt{5}$．
其中正确的序号是 （　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 根据折叠的性质，以及圆的定义即可作出判断①②③；以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况，点P与BC的中点H重合时和点P在CD的中垂线上两种情况进行讨论，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，利用勾股定理即可求得PC的长．

解答 解：①根据折叠的性质可得△ABE与△PBE关于直线BE对称，则①正确；
②当AE=AB=2时，PC的长度最小，此时P在BC上，则PC=2，四边形ABPE是正方形，故②错误，③正确．
④以P、C、D为顶点的等腰三角形有两种情况．
第1种情况：点P与BC的中点H重合时：CH=CD．
即PC=CH=2；
第2种情况：点P在CD的中垂线上时，PD=PC，设DC的中点为K，过P作PF⊥BC于F，

则四边形PFCK是矩形，PF=CK=1，PB=2．
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴FC=4-$\sqrt{3}$，
PC²=（4-$\sqrt{3}$）²+1²，
∴PC=$\sqrt{20-8\sqrt{3}}$，
故④错误．
∴①③正确，
故选：B．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，以及折叠的性质，正确讨论，求得当△BCP是等腰三角形时PC的长是关键．