Question

10．如图1，在菱形ABCD中，AB=6$\sqrt{5}$，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE=DF；
（2）当t=6$\sqrt{5}$+6秒时，DF的长度有最小值，最小值等于12；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；
（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；
（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=6$\sqrt{5}$，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；
②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE=6$\sqrt{5}$；
（4）连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=6$\sqrt{5}$；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=6$\sqrt{5}$，根据tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=6$\sqrt{5}$+12，由GF=DE=t得FM=t-6$\sqrt{5}$-12，
利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．

解答 解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF=∠BCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC=BC，
在△DCF和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠DCF=∠BCE}\\{CD=CB}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF=BE；

（2）如图1，

当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB=6$\sqrt{5}$，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，
∴设AE′=x，则BE′=2x，
∴AB=$\sqrt{5}$x=6$\sqrt{5}$，
则AE′=6
∴DE′=6$\sqrt{5}$+6，DF=BE′=12，
故答案为：6$\sqrt{5}$+6，12；

（3）∵CE=CF，
∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP=90°时，如图2①，

∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，
∴∠CBD=∠CEF，
∵∠BPC=∠EPQ，
∴∠BCP=∠EQP=90°，
∵AB=CD=6$\sqrt{5}$，tan∠ABC=tan∠ADC=2，
∴DE=6，
∴t=6秒；
②当∠EPQ=90°时，如图2②，

∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴EC与AC重合，
∴DE=6$\sqrt{5}$，
∴t=6$\sqrt{5}$秒；

（4）y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t-12-$\frac{24\sqrt{5}}{5}$，

如图3，连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，
由（1）知∠1=∠2，
又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，
∴∠DCE=∠GCF，
在△DCE和△GCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{EC=FC}\\{∠DCE=∠GCF}\\{DC=GC}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△GCF（SAS），
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠2=∠4，
∴GF∥CD，
又∵AH∥BN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴MN=CD=6$\sqrt{5}$，
∵∠BCD=∠DCG，
∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，
∴CN=CG=CD=6$\sqrt{5}$，
∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，
∴GN=12，
∴GM=6$\sqrt{5}$+12，
∵GF=DE=t，
∴FM=t-6$\sqrt{5}$-12，
∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，
∴FH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（t-6$\sqrt{5}$-12），
即y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t-12-$\frac{24\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查菱形的有关性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形及旋转的性质，熟练掌握灵活运用是解题的关键．