Question

17．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌Rt△FCE；
（2）若BC⊥AB，且BC=8，梯形ABCD面积为48，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据梯形的性质得出对应角相等进而利用AAS得出全等三角形；
（2）利用梯形的面积和三角形全等，即可求出DF．

解答 解：（1）证明：∵E为BC的中点
∴BE=CE
∵AB∥CD
∴∠BAE=∠F，∠B=∠FCE，
在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠F}\\{∠B=∠FCE}\\{BE=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
（2）由（1）得，△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB=CF，
∵梯形ABCD面积为48，
∴$\frac{1}{2}$（AB+CD）×BC=48．
∴$\frac{1}{2}$（CF+CD）×BC=48，
∴$\frac{1}{2}$DF×BC=48，
∵BC=8，
∴DF=12

点评 此题是梯形题，主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据全等三角形的性质得出AB=CF是解题关键．