Question

15．已知：△ABC的两边AB，AC的长是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，第三边BC=5；求：
①求k的取值范围；
②k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

Answer 1

分析 ①根据根的判别式的意义得出△=[-（2k+3）]²-4（k²+3k+2）=1＞0，由此求出k的取值范围是全体实数；
②由根与系数的关系得出AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，根据勾股定理得出AB²+AC²=BC²=25，利用完全平方公式得出（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，整理得k²+3k-10=0，解方程即可．

解答 解：①∵△ABC的两边AB，AC的长是方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，
∴△=[-（2k+3）]²-4（k²+3k+2）=1＞0，
∴k的取值范围是全体实数；

②∵AB+AC=2k+3，AB•AC=k²+3k+2，
又AB²+AC²=BC²=25，
∴（2k+3）²-2（k²+3k+2）=25，
∴k²+3k-10=0，
∴k=-5或2．

点评 本题考查了根与系数的关系的关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式以及勾股定理，完全平方公式．