Question

1．已知某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月要少卖10件．
（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每件售价不能高于65元，每个月的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
变式一：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每件售价不能高于65元，每个月的销售利润为y件，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
变式二：设每件商品的售价为x元（x为正整数），每件售价不能高于65元，每个月的销售利润为y件，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
变式三：设每件商品的利润为x元（x为正整数），每件售价不能高于65元，每个月的销售利润为y件，求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？直接回答售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？

Answer 1

分析 （1）根据月利润=月销量×每件的利润，即可一一解决问题．
（2）根据题意可知y=-10-（x-5.5）²+2402.5，当x=5.5时y有最大值．由x是整数，求出x=5或6时的y的值，即可判断．
（3）设y=2200，解得x的值．再结合函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）由题意得：y=（210-10x）（50+x-40）
=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
变式一：y=（210-10x）（50+x-40）=-10x²+110x+2100（0＜x≤15且x为整数）；
变式二：y=[210-10（50-x）]（x-40）=10x²-690x+11600，（50＜x≤65且x为整数）；
变式三：y=x[210-10（40+x-50]=-10x²+310x，（10＜x≤25且x为整数）；

（2）由（1）中的y与x的解析式配方得：y=-10（x-5.5）²+2402.5．
∵a=-10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15，且x为整数，
当x=5时，50+x=55，y=2400（元），
当x=6时，50+x=56，y=2400（元），
∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．

（3）当y=2200时，-10x²+110x+2100=2200，
解得：x₁=1，x₂=10．
∴当x=1时，50+x=51，当x=10时，50+x=60．
∴当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．
∴由图象可知，售价x在51≤x≤60时，个月的利润不低于2200元．

点评 此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据每月的利润=一件的利润×月销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．