Question

2．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：
①△BDF≌△DCE；②S_{四边形ABCD}=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$AM²；③△AMH是等边三角形；④∠BMD=120°．其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，再求出DF=CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠EDC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF=∠BDC=60°，再根据平角等于180°即可求出∠BMD=120°，从而判定④正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出∠ABM=∠ADH，再利用“边角边”证明△ABM和△ADH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=AM，对应角相等可得∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，从而判定出△AMH是等边三角形，判定出③正确；根据全等三角形的面积相等可得△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，然后判定出②错误

解答 解：在菱形ABCD中，
∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=DF，
在△BDF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=DF}\\{∠BDF=∠C=60°}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故④小题正确；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM和△ADH中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ADH=∠ABM}\\{DH=BM}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，
又∵△AMH的面积=$\frac{1}{2}$AM•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AM²，
∴S_{四边形ABMD}=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AM²，故②小题错误，
综上所述，正确的是①③④，
故答案为：①③④

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目较为复杂，特别是图形的识别有难度，从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是解题的关键．