Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E两点分别从顶点C、A沿着AC边向点A、C运动，点D的速度为1个单位/秒，点E的速度为2个单位/秒．以BD为直径作⊙F，过点E作CB边的平行线l，问$\frac{10-\sqrt{10}}{6}$秒钟后直线l与⊙F相切．

Answer 1

分析 作FG⊥CD于G，FH⊥BC于H，设t秒钟后直线l与⊙F相切．根据勾股定理求得⊙F的半径，进而根据切线的性质，得出：2t+$\sqrt{（\frac{t}{2}）^{2}+{1}^{2}}$+$\frac{1}{2}$t=4，解方程即可求得t的值．

解答 解：作FG⊥CD于G，FH⊥BC于H，设t秒钟后直线l与⊙F相切．
∴CD=t，AE=2t，
∴CG=DG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$t，CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵BC⊥AC，
∴GF∥BC，
∵DF=BF，
∴GF=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴四边形CHFG是矩形，
∴FH=GC=$\frac{1}{2}$t，
在Rt△DGF中，DF=$\sqrt{DG^2+GF^2}$=$\sqrt{（\frac{t}{2}）^{2}+{1}^{2}}$，
根据题意：2t+$\sqrt{（\frac{t}{2}）^{2}+{1}^{2}}$+$\frac{1}{2}$t=4，
解得t₁=$\frac{10+\sqrt{10}}{6}$（舍去），t=$\frac{10-\sqrt{10}}{6}$，
∴$\frac{10-\sqrt{10}}{6}$秒钟后直线l与⊙F相切．
故答案为$\frac{10-\sqrt{10}}{6}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理的应用，根据题意得出2t+$\sqrt{（\frac{t}{2}）^{2}+{1}^{2}}$+$\frac{1}{2}$t=4是解题的关键．