Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC=45°，AC=2，则BD的长为（　　）

• A． 6
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AO=$\frac{1}{2}$AC=1，BD=2BO，求出∠ACB=∠DAC=45°，根据三角形内角和定理求出∠ABC=45°，求出∠ABC=∠ACB，推出AB=AC=2，根据勾股定理求出BO，即可得出答案．

解答 解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=2，
∴AD∥BC，AO=$\frac{1}{2}$AC=1，BD=2BO，
∵∠DAC=45°，
∴∠ACB=∠DAC=45°，
∴∠ABC=180°-90°-45°=45°，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC=2，
由勾股定理得：BO=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BD=2BO=2$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题考查了等腰三角形判定，勾股定理，平行线的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．