Question

20．如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G，BF≠CG．下面是小明、小颖两位同学对BF、FG、GC这三条线段之间的关系式BF²+GC²=FG²进行探究的部分过程，请你帮小明、小颖完成后面的证明过程．

小明：如图甲，把△ABF沿AD折叠，得△ABF≌△APF，连接PG，…
小颖：如图乙，把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ACP，得△ABF≌△ACP，连接PG，…

Answer 1

分析 小明：把△ABF沿AD折叠，得△ABF≌△APF，连接PG，利用三角形全等的知识证明∠FPG=∠B+∠C=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系；
小颖：把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系．

解答 解：小明：
如图甲，把△ABF沿AD折叠，得△ABF≌△APF，连接PG，则
∠B=∠C=∠APF=45°，AP=AB=AC，BF=FP，∠BAF=∠PAF，
∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，
∴∠PAF+∠PAG=∠BAF+∠CAG，
∴∠PAG=∠CAG，
在△PAG和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AC}\\{∠PAG=∠CAG}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴△PAG≌△CAG（SAS），
∴CG=GP，∠APG=∠C=45°，
∴∠FPG=45°+45°=90°，
∴在Rt△PFG中，GF²=PG²+PF²FG²=BF²+GC²．

小明：
如图乙，把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ACP，得△ABF≌△ACP，连接PG，
∴∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B=45°，
∵∠DAE=45°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∴∠4+∠3=45°，
∴∠2=∠4+∠3=45°，
∴∠2=∠PAG，
在△FAG和△PAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AP}\\{∠2=∠PAG}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AGP（SAS），
∴FG=GP，
∵∠ACP+∠ACB=45°+45°=90°，
∴在Rt△PGC中，GP²=GC²+CP²，
∴FG²=BF²+GC²．

点评 本题主要考查旋转的性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质以及三角形全等的判定与性质的综合应用，解答本题的关键是熟练掌握旋转和轴对称的知识，以及全等三角形的判定方法．