Question

8．已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F．

（1）若点D是AB的中点，
①在图1中用尺规作出一个符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
②如图2，连结EF，若EF∥AB，求线段EF的长；
③请写出求线段EF长度最小值的思路．
（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 （1）①先作出CD的垂直平分线，即可作出图形；
②先判断出△ABC是直角三角形，即可得出，EF是⊙O的直径，再用平行线的性质和同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠CDF，进而得出∠CFD=90°，得出判断出CD是直径即可；
③利用圆中直径大于等于圆中任何一条弦即可得出CD是直径时，EF最小；
（2）先得出CD⊥AB时，CD最小，即：EF最小，最后用面积公式即可求出．

解答 解：（1）
①如图1，所示，

②如图2，连结CD，FD，
∵AC=6，BC=8，AB=10，
∴AC²+BC²=AB²
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴EF是⊙O的直径，
∵D是AB中点，
∴DA=DB=DC=5，
∴∠B=∠DCB，
∵EF∥AB，
∴∠A=∠CEF，
∵∠CDF=∠CEF，
∴∠A=∠CDF，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠CDF+∠DCB=90°，
∴∠CFD=90°，
∴CD是⊙O的直径，
∴EF=CD=5，


③
由AC²+BC²=AB²可得∠ACB=90°，
所以，EF是⊙O的直径．
由于CD是⊙O的弦，
所以，有EF≥CD，
所以，当CD是⊙O的直径时，EF最小，


（2）如图3，由（1）③知，CD是⊙O的直径时，EF最小，即：最小值为CD
当点D在边AB上运动时，只有CD⊥AB时，CD最小，
由（1）②知，△ABC是直角三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AB•CD，
∴AC•BC=AB•CD，
∴CD=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了基本作图，直角三角形的判定，圆的性质，三角形的面积公式，判断出CD是直径是EF最小，是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．