Question

14．如图，AB是⊙O的直径，点P是弦BC上一动点（不与B，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，在射线EP上取点D使得DC=DP，连接DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若∠CBA=30°，射线EP交⊙O于点 F，当点 F恰好是弧BC的中点时，判断以B，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，利用已知条件和圆的基本性质证明OC⊥CD，即可得到直线DC是⊙O的切线；
（2）连接AC，由∠CAB=30°易得△OAC为等边三角形，可得∠BOC=120°，由F是弧AC的中点，易得△BOF与△COF均为等边三角形，可得BF=BO=OC=CF，易得以B，O，C，F为顶点的四边形是菱形．

解答 解：
（1）证明：连接OC，
∵DP=DC，
∴∠DPC=∠DCP，
∵∠DPC=∠BPE，
∴∠BPE=∠DCP，
∵PE⊥AB，
∴∠BEP=90°，
∴∠B+∠APE=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠B，
∴∠OCB+∠DCP=90°，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；        
（2）以B、O、C、F为顶点的四边形是菱形，理由如下：
连接AC，
∵∠CBA=30°，
∴∠A=60°，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠BOC=120°，
连接OF，BF，CF
∵F是弧BC的中点，
∴∠BOF=∠COF=60°，
∴△BOF与△COF均为等边三角形，
∴BF=BO=OC=CF，
∴四边形BOCF为菱形．

点评 本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．