校园安全与每个师生.家长和社会有着切身的关系．某校教学楼共五层.设有左.右两个楼梯口.通常在放学时.若持续不正常.会导致等待通过的人较多.发生拥堵.从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二.三楼的七年级学生从放学时刻起.经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增.6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减,位于四.五楼的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．校园安全与每个师生、家长和社会有着切身的关系．某校教学楼共五层，设有左、右两个楼梯口，通常在放学时，若持续不正常，会导致等待通过的人较多，发生拥堵，从而出现不安全因素．通过观察发现位于教学楼二、三楼的七年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递增，6分钟后经过单个楼梯口等待人数按每分钟12人递减；位于四、五楼的八年级学生从放学时刻起，经过单个楼梯口等待人数y₂与时间为t（分）满足关系式y₂=-4t²+48t-96（0≤t≤12）．若在单个楼梯口等待人数超过80人，就会出现安全隐患．
（1）试写出七年级学生在单个楼梯口等待的人数y₁（人）和从放学时刻起的时间t（分）之间的函数关系式，并指出t的取值范围．
（2）若七、八年级学生同时放学，试计算等待人数超过80人所持续的时间．
（3）为了避免出现安全隐患，该校采取让七年级学生提前放学措施，要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生至少比八年级提前几分钟放学？

分析（1）前六分钟时，七年级单个楼梯口等待人数=12×时间；6分钟后七年级单个楼梯口等待人数=6×12-12×超过6分钟的时间，注意应根据等待的人数为非负数得到自变量的取值；
（2）根据同时放学4、5楼不变，但2、3楼需要加八年级的人数，从而得出关系式求出即可；
（3）让（1）（2）得到的式子为80列式求值即可．

解答解：（1）由题意得，y₁=$\left\{\begin{array}{l}{12t（0≤t≤6）}\\{144-12t（6＜t≤12）}\end{array}\right.$；
（2）同时放学：七年级单个楼梯口等待人数为y=$\left\{\begin{array}{l}{-4{t}^{2}+60t-96（0≤t≤6）}\\{-4{t}^{2}+36t+48（6＜t≤12）}\end{array}\right.$，
当0≤t≤6时，-4t²+60t-96=80，得t₁=4，t₂=11，
∴4≤t≤6；
当6＜t≤12时，-4t²+36t+48=80，得t₁=1，t₂=8，
∴6＜t≤8．
∵8-4=4，
∴等待人数超过80人所持续的时间为：8-4=4（分）．
∴等待人数超过80人所持续的时间为：8-4=4分钟；
（3）设七年级学生比八年级提前m（m＞0）分钟放学，
当0≤t≤6-m时，y=-4t²+48t-96+12（t+m）=-4t²+60t+12m-96，
∵-$\frac{60}{2（-4）}$=7.5＞6-m，
∴当t=6-m时，y有最大值=-4m²+120，由-4m²+120≤80，
∵m＞0，
∴m²≥10，得m≥$\sqrt{10}$；
当6-m＜t≤12-m时，y=-4t²+48t-96+144-12（t+m）=-4t²+36t-12m+48，
∵-$\frac{36}{2（-4）}$=4.5，
∴当t=4.5时，y有最大值=129-12m≤80，得m≥4$\frac{1}{12}$；
当12-m＜t≤12时，y=-4t²+48t-96=-4（t-6）²+48≤48．
∴要使单个楼梯口等待人数不超过80人，则七年级学生比八年级至少提前4$\frac{1}{12}$分钟放学，