Question

4．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上．
（1）求树DE的高度；
（2）求食堂MN的高度．

Answer 1

分析 （1）设DE=x，可得EF=DE-DF=x-2，从而得AF=$\frac{EF}{tan∠EAF}$=$\sqrt{3}$（x-2），再求出CD=$\frac{DE}{tan∠DCE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x、BC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=2$\sqrt{3}$，根据AF=BD可得关于x的方程，解之可得；
（2）延长NM交DB延长线于点P，知AM=BP=3，由（1）得CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=2$\sqrt{3}$、BC=2$\sqrt{3}$，根据NP=PD且AB=MP可得答案．

解答 解：（1）如图，设DE=x，
∵AB=DF=2，
∴EF=DE-DF=x-2，
∵∠EAF=30°，
∴AF=$\frac{EF}{tan∠EAF}$=$\frac{x-2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$（x-2），
又∵CD=$\frac{DE}{tan∠DCE}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，BC=$\frac{AB}{tan∠ACB}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=BC+CD=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
由AF=BD可得$\sqrt{3}$（x-2）=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
解得：x=6，
∴树DE的高度为6米；

（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=3，

由（1）知CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，BC=2$\sqrt{3}$，
∴PD=BP+BC+CD=3+2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=3+4$\sqrt{3}$，
∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，
∴NP=PD=3+4$\sqrt{3}$，
∴NM=NP-MP=3+4$\sqrt{3}$-2=1+4$\sqrt{3}$，
∴食堂MN的高度为1+4$\sqrt{3}$米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．