Question

16．（1）如图①，点M为ABCD内一点，请过点M作一条直线将ABCD的面积二等分；
（2）如图②，点P为∠AOB内一点，过点P作直线分别交∠AOB的两边于M、N．小明认为当点P为MN的中点时（如图②）时，△OMN的面积最小，你认为小明的说法正确吗？如果正确请给予证明：如果不正确，请说明理由．
（3）如图③，∠AOB=α（0°＜α＜180°），点P为∠AOB内一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC=3，PD=2，过点P作直线分别交∠AOB的两边于M、N，并将△OMN的面积最小记为S，试探究：在∠α变化过程中S是否存在最小值？如果存在，请求出S的最小值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD交于点O，作直线EO，直线EO将矩形ABCD的面积分为相等的两部分；
（2）当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，如图2；
（3）如图③中，作PH∥OM交OB于H．因为P是MN中点时，面积最小，推出PM=PN，推出ON=HN，推出OM=2PH，推出当MO⊥OB时，点H与D重合，此时OM=2PD=4此时OM最小，同理可知，此时ON=2PC=6，此时ON的值最小，由此即可解决问题；

解答 解：（1）如图①中，连接AC，BD交于O，过O，M作直线OM，则直线OM将ABCD的面积二等分；


（2）当直线旋转到点P是MN的中点时S_△MON最小，如图2，

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
易证△MGP≌△NFP，可以推出S_{四边形MOFG}=S_△MON．
∵S_{四边形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴当点P是MN的中点时S_△MON最小；

（3）如图③中，作PH∥OM交OB于H．

∵P是MN中点时，面积最小，
∴PM=PN，
∴ON=HN，
∴OM=2PH，
∴当MO⊥OB时，点H与D重合，此时OM=2PD=4，此时OM最小，
同理可知，此时ON=2PC=6，此时ON的值最小，
∴△OMN的面积最小值=$\frac{1}{2}$×4×6=12．

点评 本题考查三角形综合题、三角形面积问题、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．