Question

7．等边△ABC的边长为3，在边AC上取点A₁，使AA₁=1，连接A₁B，以A₁B为一边作等边△A₁BC₁，则线段AC₁的长为2或$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 分两种情况：
①当C₁在A₁B的上方时，如图1，证明△A₁BC≌△ABC₁，则A₁C=AC₁=2；
②当C₁在A₁B的下方时，如图2，作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，同理得：△ABA₁≌△CBC₁，则C₁C=A₁A=1，∠C₁CB=∠BAC=60°，得到30°的Rt△C₁CD，根据性质求得CD=$\frac{1}{2}$，C₁D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，最后利用勾股定理可得结论．

解答 解：分两种情况：
①当C₁在A₁B的上方时，如图1，
∵AB=3，AA₁=2，
∴A₁C=3-1=2，
∵△ABC和△A₁BC₁是等边三角形，
∴AB=BC，A₁B=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁=60°，
∴∠A₁BC=∠ABC₁，
在△A₁BC和△ABC₁中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠{A}_{1}BC=∠{C}_{1}BA}\\{{A}_{1}B={C}_{1}B}\end{array}\right.$，
∴△A₁BC≌△ABC₁（SAS），
∴A₁C=AC₁=2；
②当C₁在A₁B的下方时，如图2，连接C₁C，过C₁作C₁D⊥AC于D，
同理得：△ABA₁≌△CBC₁，
∴C₁C=A₁A=1，∠C₁CB=∠BAC=60°，
∵∠ACB=60°，
∴∠C₁CD=60°，
Rt△C₁CD中，∠CC₁D=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$C₁C=$\frac{1}{2}$，C₁D=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
Rt△AC₁D中，AD=3+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，
由勾股定理得：AC₁=$\sqrt{A{D}^{2}+{C}_{1}{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{7}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
综上所述，则线段A₁C的长为2或$\sqrt{13}$．
故答案为：2或$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、勾股定理、等边三角形，采用分类讨论的思想，利用等边三角形的性质证明三角形全等是关键．